02.10 Πολλαπλάσια και διαιρέτες

Έχω τον αριθμό π.χ. 5. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 2, βρίσκω αποτέλεσμα 10. Το 10 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 5.

Έχω τον αριθμό π.χ. 26. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 7, βρίσκω αποτέλεσμα 182. Το 182 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 26.

Έχω τον αριθμό π.χ. 12. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 6, βρίσκω αποτέλεσμα 72. Το 72 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 12.

Έχω τον αριθμό π.χ. 16. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 9, βρίσκω αποτέλεσμα 144. Το 144 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 16.

Έχω τον αριθμό π.χ. 54. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 2, βρίσκω αποτέλεσμα 108. Το 108 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 54

Αν πολλαπλασιάσω έναν αριθμό με έναν άλλον, αυτό που θα βρω θα είναι πολλαπλάσιο του πρώτου αριθμού.

Πολλαπλάσιο, λοιπόν, ενός αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάποιον άλλον.

Το μικρότερο πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι αυτό που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με το 1.

Ας βρω τώρα τα πολλαπλάσια του 6 :

6 (6Χ1 = 6), 12 (6Χ2 = 12), 18 (6Χ3 = 18), 24 (6Χ4 = 24), 30 (6Χ5 = 30), 36 (6Χ6 = 36), 42 (6Χ7 = 42), 48 (6Χ8 = 48)... τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.

Ας βρω τώρα τα πολλαπλάσια του 3 :

3 (3Χ1 = 3), 6 (3Χ2 = 6), 9 (3Χ3 = 9), 12 (3Χ4 = 12), 15 (3Χ5 = 15), 18 (3Χ6 = 18), 21 (3Χ7 = 21), 24 (3Χ8 = 24), 27 (3Χ9 = 27), 30 (3Χ10) = 30...

Αν παρατηρήσουμε τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του 6 και αυτούς που είναι πολλαπλάσια του 3, θα δούμε ότι οι αριθμοί 6, 12, 18, 24 και 30 είναι πολλαπλάσια και του 6 και του 3. Λέμε τότε ότι οι αριθμοί 6, 12, 18, 24 και 30 είναι Κοινά Πολλαπλάσια του 6 και του 3.

Κοινά πολλαπλάσια δύο αριθμών είναι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια και των δύο αριθμών.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια αυτών των αριθμών.

Π.χ. στο προηγούμενο παράδειγμα με το 6 και το 3, βρήκαμε ότι κοινά τους πολλαπλάσια είναι τα : 6, 12,18, 24, 39 κ.λπ. Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιό τους είναι το 6. Λέμε τότε ότι Ε.Κ.Π. του 6 και του 3 είναι το 6.

Στον παρακάτω πίνακα σημειώσαμε με κόκκινο τα πολλαπλάσια του 2, με μπλε τα πολλαπλάσια του 5 και με μωβ τα κοινά τους πολλαπλάσια :

Κοινά Πολλαπλάσια του 2 και του 5 είναι : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 5 είναι το 10. Άρα Ε.Κ.Π._2,5 =  10

Στον παρακάτω πίνακα σημειώθηκαν τα πολλαπλάσια του 6 και του 8 :

Κοινά Πολλαπλάσια του 6 και του 8 είναι : 24, 48. Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια του 6 και του 8 είναι το 24. Άρα Ε.Κ.Π._6,8 =  24

Όταν κάνουμε μια διαίρεση, κάποιες φορές βρίσκουμε υπόλοιπο 0 και κάποιες άλλες έναν οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

Π.χ. 4 : 2 = 2 υπόλοιπο 0   --   5 : 3 = 1 υπόλοιπο 2   --   132 : 11 = 12 υπόλοιπο 0

Όταν το υπόλοιπο είναι 0, τότε λέμε ότι ο αριθμός με τον οποίο διαιρέσαμε είναι διαιρέτης του άλλου αριθμού.

Π.χ. στη διαίρεση 4 : 2 = 2 υπόλοιπο 0, αφού το υπόλοιπο είναι 0, άρα ο αριθμός 2 είναι διαιρέτης του 4

στη διαίρεση 5 : 3 = 1 υπόλοιπο 2, αφού το υπόλοιπο δεν είναι 0 (είναι 2), άρα ο αριθμός 3 δεν είναι διαιρέτης του 5

στη διαίρεση 132 : 11 =12 υπόλοιπο 0, αφού το υπόλοιπο είναι 0, άρα ο αριθμός 11 είναι διαιρέτης του 132.

Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται ο αριθμός που διαιρεί ακριβώς αυτόν τον αριθμό.

Το 8 παράγεται από τους πολλαπλασιασμούς :          1 × 8 = 8,     2 × 4 = 8,    4 × 2 = 8

Αν διαιρέσουμε το 8 με καθέναν από τους παραπάνω αριθμούς θα δούμε ότι και το 1 και το 2, το 4 και το 8 διαιρούν το 8 χωρίς ν' αφήνουν υπόλοιπο. Άρα οι αριθμοί 1, 2, 4 και 8 είναι διαιρέτες του 8.

Ας κάνουμε το ίδιο και με έναν άλλον αριθμό π.χ. το 12 .

Το 12 παράγεται από τους πολλαπλασιασμούς :                         1 × 12 = 12      2 × 6 = 12     3 × 4 = 12     4 × 3 = 12      6 × 2 = 12

Αν διαιρέσουμε το 12 με καθέναν από τους παραπάνω αριθμούς θα δούμε ότι και το 1 και το 2, το 3, το 4, το 6 και το 12 διαιρούν το 12 χωρίς ν' αφήνουν υπόλοιπο. Άρα οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6 και 12 είναι διαιρέτες του 12.

Διαιρέτες ενός αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που αν πολλαπλασιαστούν με κάποιους άλλους, δίνουν ως αποτέλεσμα αυτόν τον αριθμό.

Μικρότερος διαιρέτης ενός αριθμού είναι το 1.

Μεγαλύτερος διαιρέτης ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.